解答

（問1）5通り

（問2）12通り

解説

Aの車両を、向きも含めて◢、◣と表し、Bの車両を■で表します。
両端は◢と◣で固定されるので、（1）では、両端以外の7－2＝5（両）の作り方を、（2）では、両端以外の9－2＝7（両）の作り方を考えます。
このとき、両端以外は、「■」または「◣◢」の2種類のもので作ると考えることができます。

（1）両端以外の5両として、

• ① ◣◢と◣◢と■の3つで作る場合
• ② ◣◢と■と■と■の4つで作る場合
• ③ ■と■と■と■と■の5つで作る場合

が考えられます。
逆順になる場合に気を付けて、次のようにそれぞれの作り方を調べます。

• ① ◣◢と◣◢と■の3つで作る場合
  「◣◢ ◣◢ ■」「◣◢ ■ ◣◢」の2通りあります。
  （「■ ◣◢ ◣◢」は、1つ目の逆順になるので数えません。）
• ② ◣◢と■と■と■の4つで作る場合
  「◣◢ ■ ■ ■」と「■ ◣◢ ■ ■」の2通りあります。
  （「■ ■ ■ ◣◢」や「■ ■ ◣◢ ■」は、上記の逆順になるので数えません。）
• ③ ■と■と■と■と■の5つで作る場合
  「■ ■ ■ ■ ■」の1通りあります。

以上より、7両の列車の作り方は、2＋2＋1＝5（通り）あります。

（2）両端以外の7両として、

• ① ◣◢と◣◢と◣◢と■の4つで作る場合
• ② ◣◢と◣◢と■と■と■の5つで作る場合
• ③ ◣◢と■と■と■と■と■の6つで作る場合
• ④ ■と■と■と■と■と■と■の7つで作る場合

が考えられます。
逆順になる場合に気を付けて、次のようにそれぞれの作り方を調べます。

• ① ◣◢と◣◢と◣◢と■の4つで作る場合
  「◣◢ ◣◢ ◣◢ ■」「◣◢ ◣◢ ■ ◣◢」の2通りあります。
• ② ◣◢と◣◢と■と■と■の5つで作る場合
  「◣◢ ◣◢ ■ ■ ■」「◣◢ ■ ◣◢ ■ ■」「◣◢ ■ ■ ◣◢ ■」
  「◣◢ ■ ■ ■ ◣◢」「■ ◣◢ ◣◢ ■ ■」「■ ◣◢ ■ ◣◢ ■」
  の6通りあります。
• ③ ◣◢と■と■と■と■と■の6つで作る場合
  「◣◢ ■ ■ ■ ■ ■」「■ ◣◢ ■ ■ ■ ■」「■ ■ ◣◢ ■ ■ ■」
  の3通りあります。
• ④ ■と■と■と■と■と■と■の7つで作る場合
  「■ ■ ■ ■ ■ ■ ■」の1通りあります。

以上より、9両の列車の作り方は、2＋6＋3＋1＝12（通り）あります。

（別解）

逆順を同じとみなさないときは「並べ方」、逆順を同じとみなすときは「作り方」と呼ぶことにします。

（1）両端を除いた車両の並べ方を考えます。

• ・1両の場合
  「■」の1通りあります。
• ・2両の場合
  「◣◢」、「■ ■」の2通りあります。
• ・3両の場合
  一番左が「■」のとき、残りの車両は3－1＝2（両）です。
  このとき、2両の場合と同じで、2通りあります。
  一番左が「◣◢」のとき、残りの車両は3－2＝1（両）です。
  このとき、1両の場合と同じで、1通りあります。

以上より、2＋1＝3（通り）あります。

4両以上の場合も3両の場合と同じように考えることができます。
（4両の場合）＝（3両の場合）＋（2両の場合）＝3＋2＝5（通り）
（5両の場合）＝（4両の場合）＋（3両の場合）＝5＋3＝8（通り）
列車の作り方では逆順になっているものは同じとみなすので、逆順のない並べ方と逆順のある並べ方に分けて調べます。

【逆順のない並べ方】
逆順のない並べ方は、真ん中が「■」で左右対称なので、「■」を挟んで左側の並べ方だけを考えればよいです。
5両のとき、「2両分 ■ 2両分」となっているので、2両の場合と同じで2通りあります。

【逆順のある並べ方】
逆順のある並べ方はすべての並べ方から逆順のない並べ方をひいて求められます。
8－2＝6（通り）

以上より、作り方は2＋6÷2＝5（通り）あります。

（2）両端を除いた9－2＝7（両）の並べ方を考えます。

（6両の場合）＝（5両の場合）＋（4両の場合）＝8＋5＝13（通り）
（7両の場合）＝（6両の場合）＋（5両の場合）＝13＋8＝21（通り）

【逆順のない並べ方】
7両のとき、「3両分 ■ 3両分」となっているので、3両の場合と同じで3通りあります。

【逆順のある並べ方】
21－3＝18（通り）

以上より、作り方は3＋18÷2＝12（通り）あります。

（参考）別解の方法から、両端を除いたN両の並べ方は、
1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、…
と続くフィボナッチ数列のN番目の数と等しくなることがわかります。