解答

12分30秒

解説

OAとPQが平行の状態から点Cが初めて消えるまでに、円板が何度回転するのかを考えます。

まず、2点A、Bが同時に消えたときまでの様子をとらえます。
2点A、Bが同時に消えたときの点A、B、Cの位置をそれぞれA\( _{1} \)、B\( _{1} \)、C\( _{1} \)とすると、2点A、Bが同時に消えたときの図形の位置は下の図のようになります。

三角形OA\( _{1} \)C\( _{1} \)と三角形B\( _{1} \)C\( _{1} \)A\( _{1} \)は合同な直角二等辺三角形なので、OC\( _{1} \)とA\( _{1} \)B\( _{1} \)は平行です。したがって、点AはOC\( _{1} \)上にあったことがわかります。角AOA\( _{1} \)＝角C\( _{1} \)OA\( _{1} \)＝45度より、OAは45度回転しているので、円板も45度回転したことがわかります。

次に、2点A、Bが同時に消えてから点Cが初めて消えるまでの様子をとらえます。
点Cが初めて消えるときの点A、B、Cの位置をそれぞれA\( _{2} \)、B\( _{2} \)、C\( _{2} \)とすると、点Cが初めて消えるときの図形の位置は下の図のようになります。
ここで、OCに着目すると、OCは下の図の★の角度だけ回転しています。そこで、この★の角度を求めることを考えます。

下の図のように、C\( _{2} \)を通りOC\( _{1} \)に垂直な直線と、OC\( _{1} \)との交点をHとし、★の角を含む直角三角形OC\( _{2} \)Hと、直角二等辺三角形OA\( _{1} \)C\( _{1} \)に着目します。

まず、直角二等辺三角形OA\( _{1} \)C\( _{1} \)について、A\( _{1} \)を通りOC\( _{1} \)に垂直な直線と、OC\( _{1} \)との交点をIとします。
このとき、三角形OA\( _{1} \)I、A\( _{1} \)C\( _{1} \)Iも直角二等辺三角形なので、下の図より、OC\( _{1} \)：IA\( _{1} \)＝2：1です。

次に、直角三角形OC\( _{2} \)Hについて、OC\( _{2} \)＝OC\( _{1} \)、HC\( _{2} \)＝IA\( _{1} \)より、OC\( _{2} \)：HC\( _{2} \)＝2：1です。

したがって、直角三角形OC\( _{2} \)Hは、下の図のように正三角形を半分にした形なので、★＝60÷2＝30（度）です。つまり、2点A、Bが同時に消えてから点Cが初めて消えるまでに、円板は30度回転することがわかります。

以上より、OAとPQが平行の状態から点Cが初めて消えるまでに、円板は45＋30＝75（度）回転することがわかります。円板は1時間で1周するので、円板の回転する速さは360÷60＝6（度／分）です。
よって、OAとPQが平行の状態から点Cが初めて消えるまでに、75÷6＝12.5（分）→12分30秒かかります。