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獨協埼玉中学校

2025年07月掲載

獨協埼玉中学校【算数】

2025年獨協埼玉中学校入試問題より

問題文のテキストを表示する

バスケットボールはシュートを打ってゴールに入れ, 得点を競うスポーツです。シュートには, 成功すると2点になるシュート（2点シュート）と3点になるシュート（3点シュート）があり, 点数はシュートを打った場所によって決まります。AチームとBチームが対戦するとき, 次の問に答えなさい。ただし, この問題では,2点シュートと3点シュートのみ考えることとします。

（問）次のことがらのうち, Aチームが必ず勝つといえるものを①～⑤の中から2つ選びなさい。

①AチームはBチームより15本多くシュートに成功した。
②AチームはBチームより15本多く3点シュートに成功した。
③Aチームは35本, Bチームは20本のシュートに成功した。
④Aチームの得点は85点で, Bチームより15本多くシュートに成功した。
⑤両チームの成功したシュートの合計数は85本で,Aチームは, Bチームより15本多くシュートに成功した。

中学入試問題は、子どもたちの“未来へ学び進むチカラ”を試しています。
そこには各中学の「こんなチカラを持った子どもを育てたい」というメッセージが込められています。
では、この獨協埼玉中学校の算数の入試問題には、どういうメッセージが込められていたのか、解答・解説と、日能研がこの問題を選んだ理由を見てみましょう。（出題意図とインタビューの公開日については更新情報をご確認ください。）

解答と解説

日能研による解答と解説

解答

③、④

解説

①～⑤のそれぞれの場合について、同点になる例や、Bが勝つ例がありうるかどうかを考えます。

①AチームとBチームのシュートの本数の差だけ決まっています。ですから、シュートの本数や、2点シュートと3点シュートの内訳は自由に決めることができます。
例えば、Aチームが2点シュートだけを115本成功させ、Bチームが3点シュートだけを100本成功させたとします。
このとき、Aチームは2×115＝230（点）、Bチームは3×100＝300（点）となりBチームが勝つので、Aチームが必ず勝つとはいえません。

解説図①

②3点シュートの本数の差だけ決まっています。ですから、2点シュートの本数は自由に決めることができます。
例えば、3点シュートを成功させた本数が、Aチームが15本、Bチームが0本だとします。このとき、Aチームは3×15＝45（点）となります。もし、Bチームが2点シュートをさらに25本成功したとすると、2×25＝50（点）でBチームが勝つので、Aチームが必ず勝つとはいえません。

解説図②

③それぞれのシュートの本数が決まっています。ですから、Aチームの得点ができるだけ低くなり、Bチームの得点ができるだけ高くなる場合を考えます。
Aチームがすべて2点シュート、Bチームがすべて3点シュートを成功させたとすると、Aチームの得点は2×35＝70（点）、Bチームの得点は3×20＝60（点）です。
このことから、どのような場合でもAチームの得点の方が高くなることがわかるので、Aチームが必ず勝つといえます。

解説図③

④Aチームの得点とシュートの本数の差が決まっています。ですから、Bチームの得点ができるだけ高くなる場合を考えるために、Aチームのシュートの本数が最も多くなる場合を考えます。
85÷2＝42余り1より、2点シュートが42-1=41（本）、3点シュートが1本であれば、シュートの本数が最大になります。このとき、Bチームのシュートの本数は41+1-15＝27（本）より、27本すべてが3点シュートだったとしても、3×27＝81（点）で、85点のAチームが勝ちます。
このことから、どのような場合でもAチームの得点の方が高くなることがわかるので、Aチームが必ず勝つといえます。

解説図④

⑤和差算の考え方を使うと、問題文より、Aチームは（85+15）÷2＝50（本）、Bチームは85－50＝35（本）成功したことがわかります。つまり、それぞれのシュートの本数が決まっているので、③と同様に考えます。
Aチームの成功させたシュートがすべて2点シュートだとすると2×50＝100（点）、Bチームの成功させたシュートがすべて3点シュートだとすると3×35＝105（点）となり、Bチームが勝つので、必ずAチームが勝つとはいえません。

解説図⑤

以上のことから、必ずAチームが勝つといえるのは、③、④のときです。

日能研がこの問題を選んだ理由

獨協埼玉中学校のこの問題は、バスケットボールの得点を題材にした、論理的思考を味わう問題です。この問題は、2点、3点という1本あたりの点数はわかっている上で、①～⑤のそれぞれについて判断します。チームの総得点、シュートの成功した本数、シュートの成功した本数の和・差などの条件が設定されていて、その条件のときに、「Aチームが“必ず”勝つといえる」かどうかを考えていきます。面白そうではあるけれど、反面、何から考え始めればよいのか、試験当日に悩んだ受験生もいたことでしょう。

「Aチームが必ず勝つといえるものを選ぶ」ということは、「Aチームが負ける場合や同点のときがあるものを取り除く」ということと同義です。ですから、Aチームが負けたり同点だったりする場合が1例でも見つかれば、答えとしてふさわしくないことがわかります。このようなとき、「もしすべてが〇〇だったら」のように「極端な場合」を考えることが、思考の始まりになることが多いものです。

「必ずいえるかどうか」を考えることや「極端な場合」を考えることは、算数や数学でも重要な考え方です。この問題は、そのきっかけという位置づけなのではないでしょうか。
このような理由から、日能研ではこの問題を『シカクいアタマをマルくする。』シリーズに選ぶことにしました。