解答

おうぎ形OAPの面積と時間の関係を表したグラフ…（イ）

三角形OAPの面積と時間の関係を表したグラフ…（エ）

解説

問題の図2のグラフから、点Pは5分で円Oの周りを1周することがわかります。そして、半周する（PがAの真下に来る）のは、その半分の5÷2＝2.5（分後）だとわかります。
2.5分後から、おうぎ形OAPの中心角がある位置は、左側から右側に変わることに気をつけて、おうぎ形OAPと、三角形OAPの面積の変化をとらえていきます。

●おうぎ形OAPの面積の変化
次の図1のように、おうぎ形OAPの面積は、Pが半周する2.5分後までは、一定の割合で増加し、2.5分後から5分後までは、一定の割合で減少していきます。

おうぎ形OAPの中心角である（あ）の角の大きさは、毎分180÷2.5＝72（度）ずつ変化していきます。つまり、（あ）の角の大きさは、一定の割合で変化します。
おうぎ形OAPの面積＝半径×半径×円周率×\(\frac{中心角}{360}\)なので、出発して0分後から（あ）の角が最大になる2.5分後までは、おうぎ形OAPの面積と中心角（（あ）の角）の大きさは、一定の割合で増加（時間に比例）することがわかります。
また、2.5分後から5分後までは、その逆で、一定の割合で面積が減少していくことがわかります。

以上より、グラフは、2.5分後に最大になり、0分後から2.5分後までと、2.5分後から5分後までが、それぞれ直線になるので、（イ）とわかります。

●三角形OAPの面積の変化
次の図2のように、三角形OAPの面積は、（あ）の角が直角になる2.5÷2＝1.25（分後）までは増えていき、（あ）の角が直角になってから180度になる2.5分後までは減っていきます。その後、同様の変化をすることがわかります。

したがって、面積は「増加 → 減少 → 増加 → 減少」の変化をするので、グラフは（エ）、（オ）、（カ）のいずれかとわかります。
次に、0分後〜1.25分後の面積の変化をくわしく探ってみましょう。
0分後から1.25分後の三角形OAPの面積は、底辺を半径OAとすると、高さは次の図3の←→のように変化していきます。この高さの変化に目を向けると、初めは勢いよく増えていきますが、だんだんとその増え方が緩やかになることが確認できます。

したがって、（エ）、（オ）、（カ）のグラフのうち、0分後〜1.25分後の増え方がだんだんと緩やかになっているエが正解とわかります。

（参考）このグラフの0秒後から2.5秒後までの曲線は、サインカーブと呼ばれる曲線です。くわしくは高校の数学で学びます。