解答

ア　AD　　イ　CB　　ウ（例）線分の長さの合計がもっとも短くなる（こと）

解説

この問題では、偶数個の点を2個ずつ線分で結ぶとき、「（1）線分どうしが交差しない結び方が必ずある」ことを示すため、「（2）線分の長さの合計がもっとも短くなる結び方をすると、交差している部分がない」ことに着目します。そして、「（2）線分の長さの合計がもっとも短くなる結び方をすると、交差している部分がない」ことを示すために、「背理法」と呼ばれる証明方法を用いています。（具体的には、「（2）’ 線分の長さの合計がもっとも短くなる結び方にしたとき、線分どうしが交差している部分がある」と仮定して、矛盾を示します。）

問題の［図3］の三角形ADEと三角形CBEに着目します。

・三角形ADE
三角形ADEにおいて、「2辺の長さの和は残る1辺の長さより長い」ので、辺AD_アは、辺AEと辺DEの長さの和よりも短くなります。

・三角形CBE
三角形CBEも三角形ADEと同じように考えます。
三角形CBEにおいて、「2辺の長さの和は残る1辺の長さより長い」ので、辺CB_イは、辺CEと辺BEの長さの和よりも短くなります。

つまり、
辺AE＋辺DE＞辺AD、
辺CE＋辺BE＞辺CB
となります。

大きいものどうし、小さいものどうしをたしても大小関係は変わらないので、
辺AE＋辺DE＋辺CE＋辺BE＞辺AD＋辺CB
となります。
また、辺AE＋辺BEは線分AB、辺DE＋辺CEは線分CDなので、
辺AE＋辺DE＋辺CE＋辺BE
＝（辺AE＋辺BE）＋（辺DE＋辺CE）
＝線分AB＋線分CD
です。
さらに、辺ADは線分AD、辺CBは線分CBなので、
辺AE＋辺DE＋辺CE＋辺BE＞辺AD＋辺CB
は、
線分AB＋線分CD＞線分AD＋線分CB……（※）
と言い換えられます。

一方、初めに「（2）’ 線分の長さの合計がもっとも短くなる結び方にしたとき、線分どうしが交差している部分がある」と仮定しています。つまり、線分ABと線分CDの結び方は、和がもっとも短くなるはずです。しかし、（※）より
線分AB＋線分CD＞線分AD＋線分CB
なので、この結び方（問題の［図3］の結び方）が線分の長さの合計がもっとも短くなる_ウことに反します。

以上より、「（2）’ 線分の長さの合計がもっとも短くなる結び方にしたとき、線分どうしが交差している部分がある」ことは間違っていることがわかったため、「（2）線分の長さの合計がもっとも短くなる結び方をすると、交差している部分がない」ことがわかり、このことから「（1）線分どうしが交差しない結び方が必ずある」が正しいことが証明されました。

(参考)
背理法は、素数が無限にあることを示したり、\(\sqrt{2}\)が無理数であることを証明したりするときにも用います。