解答

（問1）6\(\frac{248}{315}\)

（問2）解答例　式　\(\frac{5}{10}+\frac{3}{9}+\frac{4}{8}+\frac{2}{7}+\frac{1}{6}\)
計算結果　1\(\frac{11}{14}\)

（問3）解答例　式　\(\frac{10}{5}+\frac{6}{9}+\frac{1}{3}+\frac{7}{2}+\frac{4}{8}\)
計算結果　7

解説

（問1）
\(\frac{2}{1}+\frac{4}{3}+\frac{6}{5}+\frac{8}{7}+\frac{10}{9}\)を計算します。
初めから5つの分数をすべて通分して計算することもできますが、大変そうです。
ここでは、計算量ができるだけ少なくなるように工夫して計算します。

\(\frac{2}{1}+\frac{4}{3}+\frac{6}{5}+\frac{8}{7}+\frac{10}{9}\)
=（2+\(\frac{6}{5}\)）+（\(\frac{4}{3}+\frac{10}{9}\)）+\(\frac{8}{7}\)……まず、\(\frac{2}{1}\)＝2に直し、たし算しやすそうな組を作る。
=3\(\frac{1}{5}\)+2\(\frac{4}{9}+\frac{8}{7}\)
=3+2+\(\frac{1}{5}+\frac{4}{9}+\frac{8}{7}\)……帯分数を整数部分と分数部分に分ける。
=5+\(\frac{563}{315}\)
=6\(\frac{248}{315}\)

（問2）
計算結果が\(\frac{9}{5}\)よりも小さくなる式を探す問題です。まずは\(\frac{9}{5}\)という数を気にせずに、計算結果ができるだけ小さくなるように式を作ります。その計算結果が\(\frac{9}{5}\)よりも小さくなれば、その式を答えとすることができます。
計算結果をできるだけ小さくしたいので、それぞれの分数が小さくなるようにします。そのためには、分母を大きくし、分子を小さくします。つまり、分母には10、9、8、7、6を、分子には5、4、3、2、1を使います。
次に、分母と分子の組み合わせを考えます。例えば、分母に10と6を、分子に5と1を使うなら、\(\frac{1}{10}+\frac{5}{6}\)よりも\(\frac{5}{10}+\frac{1}{6}\)の方が小さくなります。つまり、大きい分母には大きい分子を使った方が、全体の和が小さくなることがわかります。

以上より、まず、\(\frac{5}{10}+\frac{4}{9}+\frac{3}{8}+\frac{2}{7}+\frac{1}{6}\)という式ができあがります。
この計算結果が\(\frac{9}{5}\)よりも小さいかどうかを確認しますが、計算が大変そうです。
そこで、分母と分子の組み合わせを、計算しやすそうな組に換えてみます。
このとき、組み換えることによって、計算結果が\(\frac{9}{5}\)よりも大きくなるかもしれませんが、そうなってしまった場合は、別の組をさがします。

例えば、\(\frac{5}{10}+\frac{4}{9}+\frac{3}{8}+\frac{2}{7}+\frac{1}{6}\)を、\(\frac{5}{10}+\frac{3}{9}+\frac{4}{8}+\frac{2}{7}+\frac{1}{6}\)と、約分ができる組み合わせに換えて、計算しやすくしてみましょう。
すると、
\(\frac{5}{10}+\frac{3}{9}+\frac{4}{8}+\frac{2}{7}+\frac{1}{6}\)
=\(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{2}+\frac{2}{7}+\frac{1}{6}\)
=（\(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}）+（\frac{1}{3}+\frac{1}{6}）+\frac{2}{7}\)
=1+\(\frac{1}{2}+\frac{2}{7}\)
=1\(\frac{11}{14}\)
となります。11÷14=0.78…なので、1\(\frac{11}{14}\)=1.78…となり、\(\frac{9}{5}\)=1.8よりも小さいことがわかります。ですから、\(\frac{5}{10}+\frac{3}{9}+\frac{4}{8}+\frac{2}{7}+\frac{1}{6}\)=1\(\frac{11}{14}\)を答えとすることができます。

（参考）和が\(\frac{9}{5}\)よりも小さくなる式は、他にも次の4つがあります。
\(\frac{5}{10}+\frac{4}{9}+\frac{3}{8}+\frac{2}{7}+\frac{1}{6}\)=1\(\frac{389}{504}\)=1.771…
\(\frac{4}{10}+\frac{5}{9}+\frac{3}{8}+\frac{2}{7}+\frac{1}{6}\)=1\(\frac{1973}{2520}\)=1.782…
\(\frac{5}{10}+\frac{4}{9}+\frac{2}{8}+\frac{3}{7}+\frac{1}{6}\)=1\(\frac{199}{252}\)=1.789…
\(\frac{5}{10}+\frac{4}{9}+\frac{3}{8}+\frac{1}{7}+\frac{2}{6}\)=1\(\frac{401}{504}\)=1.795…

（問3）
（問1）や（問2）に取り組んでいくうちに、10個の数のそれぞれの使い道がいろいろ見えてくるでしょう。例えば、次のようなことが挙げられます。

• \(\frac{4}{2}\)や\(\frac{8}{2}\)などのように、分子に分母の倍数を置くと整数を作ることができます。
• 合計を7以下にするので、10や8などの大きめの数は、例えば\(\frac{10}{5}\)＝2のように小さくしたり、\(\frac{4}{8}\)=0.5のように分母に持ってきて、整数を作れそうな小数にしたりした方がよさそうです。
  特に、\(\frac{5}{10}\)や \(\frac{3}{6}\)、 \(\frac{4}{8}\)、 \(\frac{7}{2}\)など、小数にすると「□.5」となる数はたくさんありそうです。これらを使うと、比較的自在に整数が作れそうです。
• 3と9を分母にすると、これらの分数はたし算しやすく、例えば\(\frac{6}{9}+\frac{1}{3}\)=1のように、分母が3や9の分数で整数を作ることができます。
• 7を分母にすると、分子に何が来ても割り切れない小数になるので、整数を作るためには、7は分母ではなく分子に持ってきた方がよさそうです。

このようなことを組み合わせて調べていくと、例えば次のような式を作ることができます。
例1　 \(\frac{10}{5}+\frac{6}{9}+\frac{1}{3}+\frac{7}{2}+\frac{4}{8}\)=7
例2　 \(\frac{8}{10}+\frac{1}{5}+\frac{6}{9}+\frac{7}{3}+\frac{4}{2}\)=6
例3　 \(\frac{6}{10}+\frac{7}{5}+\frac{4}{8}+\frac{9}{3}+\frac{1}{2}\)=6
例4　 \(\frac{5}{10}+\frac{3}{9}+\frac{1}{6}+\frac{4}{8}+\frac{7}{2}\)=5
他にも、様々作ることができます。