補助線を引いてほしかった

出題意図からお話いただけますか。

吉田先生　補助線を引けば解ける問題を出したいと思いました。対称となる図をつくり、自分で60度、120度という角度を求めることができれば、円周角の定理や、数学で習うトレミーの定理などを知らなくても解けます。線が過剰にあるのは、そのほうが小学生には解きやすいだろうと考えたからです。

7がなくても解ける問題ですよね。

吉田先生　そうなんです。解く上で必要ないのですが、3と5だけでは当て勘で答えられてしまうと思ったので加えました。7、5、3、という数はわりと好きな数なんです。7は3で割ると1余る素数。例えば2017も3で割ると1余る素数なので、そういう大きな数を用いることも考えましたが、残りの2辺が、1632と623になることから、そこまで大きな数字で出すわけにはいかないと考えてやめました。7、8、13、という数も有効でしたが、子どもを祝う意味でも7、5、3、がふさわしいかなと思い、この数にしました。

直感でわかっても証明が難しい

吉田先生　過剰な線を加えたことで、中学生、高校生から「算数の知識だけでどう解くのか」という質問がありました。

八田先生　私も現在教えている高校1年生の生徒に「この問題、できる?」と聞きました。「円周角を使っちゃいけないの?」と言うので、「ダメ」「余弦定理もダメ」「円に内接する四角形の性質もダメ」「対称性だけで解きなさい」と言うと、ものすごく考えていました。そして1人だけ、きれいに線を引いて対称性を使って解きました。生徒がおもしろがる問題だったと思います。

我々の中でも、「円周角の定理を使わずに解けるの？」という声があがりました。AB、DCの延長線を引き、交点で正三角形を作って、3＋5だから8cmというのが最短でした。直感的には正三角形とわかるのですが、証明がなかなかできないんですよね。

吉田先生　そうなんですよね。こちらが思っていたのは、5cm、3cmの線を引いて六角形を完成させる方法です。

八田先生　または菱形っぽいものでもできますよね。今日もまた、生徒が別解を発見してくれました。「えっ、こんなふうにも解けるの？」と驚きました。子どもたちのほうが頭が柔らかいです。

試行錯誤してほしい

吉田先生　中学生に図形を教えていて個人的に思うのは、あきらめずに線を引いて、試行錯誤をしてほしいということです。できれば図形の外側に向けても線を引いてほしいと思っているので、この問題にも日頃、授業で感じている思いを組み込みました。これがなんとなく不完全な図だなと思ったときに、自分で線を引いて、きれいな図を導き出してほしいんですよね。

受験生の様子はどうだったのでしょうね。

吉田先生　試験監督の話によると、図が大きく描かれていたので、（受験生は）その図にいろいろ書き込み、工夫をしていたそうです。

八田先生　大問が5問。試験時間は50分ですから、1問にかけられる時間は10分くらい。大問4は小問が3問あるので、この問題にかけられる時間はわずか3、4分ですよね。直感で8cmとわかったとしても、8cmの根拠を限られた時間の中で一生懸命考えるわけです。

算数の得点が低い受験生にも正答が見られた

八田先生　10cmと答えている子が結構いました。AEが3cm、DEが7cmですから10cmになるわけがないんですけどね。誤答の約10%が、10cmと答えていました。大きな図の中に子どもたちは引き込まれましたね。解けると思ったのだと思います。特徴的だったのは、得点が0点、10点、20点台の受験生がこの問題を頑張って解いていて8cmと答えていることです。誤答の中にもいろいろな誤答があって、その子なりに考えていることがうれしかったです。

飛びつきたくなる魔力がありますよね。制限時間を忘れさせる問題だと思いました。

八田先生　つい他の問題にかけなければいけない時間を忘れてしまったかもしれませんね。大問5は厳しい問題でしたが、解けなくても前に戻らず、ここ（大問4）にきてしまった子もいたかもしれません。だからか大問3が、日常の経験が役立つ問題にもかかわらず、できていなかったです。

正答率は約4割

正答率はどのくらいでしたか。

吉田先生　この問題の正答率は約4割でした。中には直感で8cmと書いた子もいたと思いますが、私は図形の問題に向かうときに、そう見えるとか、なにかを直感するとか、そういうことは大切だと思っているんです。ただ、数学になった時に、その直感が正しいかどうかを論証する力をつけていくことが大事になりますが……。
中学校に入ってきた生徒を見ると、最初は「知ってる」ということでよくしゃべります。当たり前になっていることを、当たり前ではなく、筋道を立てて説明することが算数と数学の違いだと思っています。そういうところで生徒たちはとまどうのですが、慣れてくると、お互いに線を引いてみたり、この線ではうまくいかないなど、互いに議論したりするようになります。そうなると、こちらが何もしなくても生徒が勝手に考えてくれるので、それを見ているだけで楽しいです。いい授業になります。

八田先生　正答した4割の中では、（算数の得点を）50点、60点くらいとっている子がもっとも高かったです。ですが、先ほどもお話したように30点以下の子も思っていた以上に戦っていました。この問題で点数を取っているケースもありました。高い点数を取っている子ができるというものでもないんですね。

それは受験のテクニックと、この問題の正答率が一致しないということでしょうか。

八田先生　そうですね。この問題の無答率は約1割です。無答は（算数の得点が）30点以下ではなく、35～50点の子に多かったです。

疑問は小脇に抱えておこう

算数と数学の違いの話が出ましたが、貴校の問題はちょうどその間の問題を出題されているという印象があります。そこに対して何か考えていらっしゃることはありますか。

吉田先生　少なくともこの問題は工夫がなければ算数の力で解けません。解けずに入学した子もいますが、中学校、高校で勉強していくうちに「ああ、だからああいうことができたのか」「今ならこういう解き方もできるな」と、気づく機会があると思うんです。解けなかったときに抱いたもやもやしたものが、後々解消されていくというのも勉強する楽しさだと思います。
私はよく「疑問を小脇に抱える」と言うのですが、解決できない疑問を、ある程度小脇に抱えたまま先に進むことも大事だと思っています。あとでなにか知恵がついた時に、「なるほど」と思ってもらえればいいなと思うからです。
そういう意味でこの問題はいい問題だと思っています。後々円周角の定理やトレミーの定理などを使ってできるようになりますし、7、5、3、という数字も余弦定理を勉強すれば、「だからこの数なんだ」ということがわかるようになります。もし大学で数学を勉強することになったら、その時に「7は3で割ると1余る素数だからそういうことができるんだ」ということを思い出して、幸せを感じてくれればいいなと思っています。

わからないことも楽しいこと

それは先生の体験に基づいているのでしょうか。

吉田先生　そうです。わからないから放っておくと、本を読んだり、勉強したりしているうちに、「なるほど。だからあの時のことがいえるんだ」と気づいたことが何度もあります。道を歩いていてそういうことに気づくこともあります。そういう体験から、「わからない」ということも楽しいことなんじゃないかと思っています。中には放っておいてはいけない問題もありますが、その時にわからなくても、あとの経験が助けになってわかることもあるので、時々思い出してほしいのです。例えば、先ほど「三角形をくっつける」と言いましたが、そういう発想もトレミーの定理の証明につながります。知られている定理の証明は不可思議なところに線を引くことが多く、その線を引けば解けるようになっています。私は勉強したての頃、それを見て「不自然だな」と思っていました。そこで、動かしてくっつける、あるいは大きさを変えてくっつけるということをしてみると、トレミーの定理の別証明になりました。他の問題でもそういうことができないかなと考えを広げてみると、数学がますますおもしろくなります。