今月の額面広告に掲載されている問題はこれだ！
暁星中学校
2016年08月掲載
2016年 暁星中学校入試問題より
- 問題文のテキストを表示する
（問）ア、イ、ウ、……、セ、ソに整数1、2、3、……、15をでたらめに１つずつ入れます。
ただし、同じ数字は2回以上使えないものとします。
どのように入れたとしても、
（1+ア）×（2+イ）×（3+ウ）×……×（14+セ）×（15+ソ）
はつねに奇数か偶数のうちのどちらかになります。
どちらになるかを理由とともに答えなさい。
中学入試問題は、子どもたちの“未来へ学び進むチカラ”を試しています。
そこには各中学の「こんなチカラを持った子どもを育てたい」というメッセージが込められています。
では、この暁星中学校の算数の入試問題には、どういうメッセージが込められていたのか、解答・解説と、日能研がこの問題を選んだ理由を見てみましょう。（出題意図とインタビューの公開日については更新情報をご確認ください。）
解答と解説
日能研による解答と解説
解答
答え 偶数
理由 例
1から15までに整数は15個あり、そのうち奇数は8個、偶数は7個ある。
よって、ア～ソにどのように整数を入れても、少なくとも1組は「奇数＋奇数」のペアができる。
「奇数＋奇数」は偶数になるので、偶数を少なくとも1つかけていることになる。
偶数を1つでもかけるとその積は偶数になるので、この式を計算して得られる値はつねに偶数になる。
解説
2つ以上の整数の積は、かけ合わせる数がすべて奇数の場合は奇数になり、かけ合わせる数に1つでも偶数が含まれている場合は偶数になります。このことに着目します。
15個の に15個の整数を1つずつ入れるので、1から15までの整数をすべて入れることになります。
1から15までの15個の整数には、奇数は1、3、5、7、9、11、13、15の8個あり、偶数は2、4、6、8、10、12、14の7個あります。
つまり、それぞれのかっこの中の、たされる数にもたす数にも奇数が8個、偶数が7個あることになります。すると、たし算のペアをどのように決めていっても、必ず1組以上「奇数＋奇数」のペアができることがわかります。
「奇数＋奇数」の計算結果は必ず偶数になるので、このかけ算の中に、少なくとも1つは偶数が含まれていることがわかります。
2つ以上の整数の積は、かけ合わせる数に1つでも偶数が含まれている場合は、ほかの数がどのような数であっても必ず偶数になります。
ですから、15個の にどのように数を入れても、この式を計算して得られる値はつねに偶数になるといえます。
- 日能研がこの問題を選んだ理由
奇数・偶数の性質と、たし算・かけ算の意味に、改めて目を向けるきっかけとなる問題でした。
「でたらめに」数を入れても「つねに」同じ結果になるというところに、この問題のおもしろさがあります。その結果になるような具体例を1つや2つ示しただけでは、「つねに」同じ結果になることを示したことにはなりません。また、「でたらめに」15個の数を入れる入れ方は1兆通り以上(＝15×14×13×…×3×2×1)あるので、それらを全て示すことは現実的ではありません。そこで必要になるのが、一般化です。
一般化するためには、ある特定の数が持つ性質ではなく、奇数すべてに共通する性質、偶数すべてに共通する性質や、それらと演算との関係に目を向ける必要があります。
式に使われている1つの数や数どうしの結びつきが、式全体にどのような影響を及ぼすのかをとらえ、その中で、「つねに」言えること、「必ず」成り立つことを明確にしていくことが求められます。
このような視点は、中学や高校で学ぶ数学につながるだけでなく、「論理的に思考する」という過程において欠かせないものといえるでしょう。
このような理由から、日能研ではこの問題を□○シリーズに選ぶことに致しました。