お子さまといっしょにチャレンジ!

『メビウスの輪』について

紙テープで輪を作り(図1)、半分に切り分けると、2つの輪になります。ひねって裏返しにして輪を作り(図2)、幅を半分に切り分けると、大きな1つの輪になります。このわけは、テープの端に色をつけるとわかりやすいでしょう。テープの端に色をつけて、その色の線だけを抜き出して思い浮かべるとよいのです。
図2で見るように、ひねって裏返しにして作った輪のことをメビウスの輪といい(図2)、幅を半分に切り分けると、大きな1つの輪になります。テープの端がひとつながりになっていますね。

  1. 図1
  2. 図2

「メビウスの輪」は結果を予想したり、それをもとに実験したり、さらにその結果から新しい予想をしたりできて楽しいですね。不要になった紙で作れるので気軽に扱えるのもよいと思います。ほかには2回ひねり、3回ひねりでつなぐなども考えられます。「図形のつながり具合」の研究に手軽に出合える、よいモデルです。奥深さからくる不思議さが完全に解明されなくても、不思議さを心に温めておくと、将来、花開くことにもなるでしょう。

また、メビウスの輪は、インクリボン、留守番電話のエンドレステープ、工場のベルトなどに使われることもあります。両面を使えるので節約や長持ちに役立っています。

メビウスについて

アウグスト・フェルディナント・メビウス(August Ferdinand Mobius)
アウグスト・フェルディナント・メビウス表裏のない輪(メビウスの帯)の存在を発見し、論文を発表したのは、ドイツの数学者、天文学者であるメビウス(August Ferdinand Mobius)(1790-1868)です。 彼は、『重心算法』、『ハレー彗星』、『天文学原理』、『静力学講義』(全2巻)、『天体力学原論』といった数々の論文を出版し、天文学・数学の世界でドイツ語圏に大きな影響を与えました。
時代背景
メビウスが生まれた頃、中央ヨーロッパは政治・芸術・科学における変化の時代でした。 政治面においては、北にプロイセンが、軍事官僚制を完成しつつあり、南に神聖ローマ帝国の君主ヨーゼフ2世の死により一つの時代が終わりつつあり、西にフランスで革命の時代を迎えていました。芸術面において、ウィーンでモーツァルトが、ボンではベートーベンが、ワイマールではゲーテといった現代に名の残す著名人が活躍していました。科学面では、将来、近代数学のほとんどに大きな影響を与えるガウスという名の少年がブラウンシュバイクで熱心に数学に取り組んでいました。 ダンスの先生だった、お父さん(ヨハンハインリッヒ)はメビウスが生まれて3年後の8月に亡くなりました。お母さんは、マーティンルーサーの子孫でした。 メビウスが16歳の学生の頃、プロイセンはイエナの戦いでフランスに敗れました。その敗北のショックにより、ドイツでは愛国主義が盛り上がりました。これにより文化のルネサンスをもたらし、教育と知的生活の刷新が始まったのです。
ライプチヒ大学
彼は18歳の時、家族のアドバイスによってライプチヒ大学にて法学を学び、半年後から自分の好みに合わせて数学や天文学を学ぶようになりました。 彼の入学したライプチヒ大学は、ドイツ最古の大学のひとつで、非常に多くのすぐれた教師や卒業生を生み出しています。
・天文学者レギオモンタヌ
・コペルニクスの友人レティクス
・ライプニッツ
・アブラハム・ケストナー(非ユークリッド幾何に影響を与えた)
メビウスの講義
偉大な実績を残した彼ですが、教師としてはあまりカリスマ的でもなかったので、彼の講義に集まったのは彼が受講料を無料にしたときたけだったとも言われています。
メビウスの帯
この表裏のない平面の中央にペンで線を引いてみましょう。すると、気づいたら裏面にきています。さらに線を引いていくと、表の面に戻ってきていて、一筆書きで平面の両面に線が引けることとなります。 このメビウスの輪はその他たくさんの切り方・ねじり方によって色々な帯を作ることが可能です。たとえば3回捻ってつなげたもの、あるいは帯を3等分の幅に切ってみたりすると、まだまだ面白い発見があるので、いちど試してみましょう。 なお、余談となりますが、表裏がない『立体』も考えられています。それは、『クラインの壷』と呼ばれてます。
メビウス年表
1790 11月17日、ザクセンの村、シュールポルタで生まれる
1809 ライプチヒ大学で学ぶ(モルワイデの下で天文学を学ぶ)
1813-14 ゲッチンゲン(ガウス)とハレ(パッフ)を訪問←ライプチヒの戦いと被る
1816 ライプチヒ大学員外教授(天文学)となる
1827 『重心算法』出版
1834-36 『ハレー彗星』と『天文学原理』を出版
1837 『静力学講義』(全2巻)出版
1843 『天体力学原論』出版
1844 ライプチヒ大学正教授となる
1858 メビウスの帯を発見
1868 ライプチヒで9月26日に死亡

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