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解答と解説

2013年 日本女子大学附属中学校【算数】
日能研がこの問題を選んだ理由

3つの円の直径の和が一定のとき、円の面積の和と円の周りの長さの和について考える問題です。3つの円一つひとつの面積や周りの長さを実際に求め、それらの和の値をそれぞれ調べていくとすると大変そうに思われるでしょう。しかし、実際に取り組んでみると、面積の和や周りの長さの和を式に整理していくなかで、分配法則が利用できることに気がつきます。すると、大変そうに見えた計算のどの部分に着目すれば、ちがいがくらべられるのかがわかります。さらに、ちがいをつくる部分を実際に調べてみると、どのように数を選べば半径の2乗の和が大きくなり、どのように数を選べば半径の2乗の和が小さくなるかに気がついていきます。また、周りの長さは3つの円それぞれの大きさによらず一定の値になるということを、式に整理するなかで気がつくと、感動するのではないでしょうか。初めは取り組みづらそうだなと思っても、自分で実際に取り組んでいくなかで、仕組みを発見する楽しさがある問題です。こんな問題に取り組みながら、「算数っておもしろい!」と思う子どもたちが増えてくれればと思います。

このような理由から、日能研ではこの問題を□○シリーズに選ぶことに致しました。

日能研による解答と解説
[解答]
  • 問1
    • 18(通り)
    • 2207.24(cm2
    • 3106.76(cm2
  • 問262.8cm
[解説]
  • 問1
    • 13つの円のそれぞれの半径の値をア、イ、ウとすると、3つの円の面積の和は、ア×ア×3.14+イ×イ×3.14+ウ×ウ×3.14=(ア×ア+イ×イ+ウ×ウ)×3.14と表されます。ア+イ+ウの値は、20÷2=10(cm)になるので、和が10になる3つの整数の組み合わせを調べます。すると、以下の8通りが見つかります。
      • 8+1+1=10
      • 7+2+1=10
      • 6+3+1=10
      • 6+2+2=10
      • 5+4+1=10
      • 5+3+2=10
      • 4+4+2=10
      • 4+3+3=10
    •  このとき、ア×ア+イ×イ+ウ×ウの値も8通りとなるので、3つの円の面積の和も8通りあるとわかります。
    • 23つの円の半径×半径の和が最も大きくなるときを調べます。すると、半径が「8cm、1cm、1cm」の組み合わせのときに半径×半径の和が最も大きくなるので、最大の面積の値は、(8×8+1×1+1×1)×3.14=207.24(cm2)となります。
    • 33つの円の半径×半径の和が最も小さくなるときを調べます。すると、半径が「4cm、3cm、3cm」の組み合わせのときに半径×半径の和が最も小さくなるので、最小の面積の値は、(4×4+3×3+3×3)×3.14=106.76(cm2)となります。
  • 問23つの円のそれぞれの直径の値をエ、オ、カとすると、3つの円の周りの長さの和は、エ×3.14+オ×3.14+カ×3.14=(エ+オ+カ)×3.14と表されます。エ+オ+カの値は20cmなので、3つの円の周りの長さの和は、それぞれの円の直径の値にかかわらず一定で、20×3.14=62.8(cm)となります。

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