小学生のための中学受験塾。日能研

日能研教務部算数科　真藤 啓

「算数エッセー『算数学入門』」です。

偏差値50位の人が一回読むだけでたちまち80になってしまう、……というものが書けないかなあと思いながら書いていこうと思います。また、次のそれぞれの算数エッセーのうち、問題や解説など、紙面で書ききれなくなったことの補足も続けたいと思います。けれども、毎月それらの文を読まなくても本稿が読めるようにも心がけています。受験算数の根っこの部分とか背景といったものがしっかりわかるようにすることを漠然と目標にして、思いつくまま書いています。

『キッズレーダー』9月号（日能研）　算数エッセー「おいしい算数　ようかい天衣無縫」
『学校選択』9月号（全国中学入試センター）　算数エッセー「算数好きのきっかけをもとめて　重複（じゅうふく）組み合わせ」

【目次】

1. 場合の数1　和の法則・積の法則について
2. 場合の数2　順列について
3. 場合の数3　組み合わせについて
4. 場合の数4　重複順列について
5. 場合の数5　重複組合せについて
6. 場合の数6　重複組合せの中学入試問題 （2010年 城西川越中1回4番（1））
7. 推理算　ようかい天衣無縫（てんいむほう）　『キッズレーダー』に関連して
8. 故事成語　天衣無縫
9. 中学入試問題研究1　展開図を読み解く1 （2010年 駒場東邦中2番（2））
10. 中学入試問題研究2　展開図を読み解く2 （2010年 渋谷教育幕張中6番）
11. 大学入試問題研究 （2010年 京都大学理系乙2番）

1. 場合の数1　和の法則・積の法則について

高校数学の「数学A」の「場合の数」の基本的なパターンには、「順列」「組合せ」「重複順列」「重複組合せ」の4つがあります。このうち、中学入試では、もっぱら、「順列」が主流でした。そうして、もっとも出ないパターンは「重複組合せ」でした。しかし、近年「重複組合せ」も出始めました。

今回は、「重複組合せ」について述べたいと思いますが、「重複組合せ」を知るためには、「順列」「組合せ」「重複順列」との比較も必要と思われるので、ざっと述べたいと思います。

まず、この節では「和の法則」と、「積の法則」ということについて説明しましょう。「法則」なんていうと、難しそうに思う人もいるかもしれません。「場合の数」ではよく「たし算」や「かけ算」をしますがどういうときにたし算して、どういうときにかけ算するかを押さえておきましょうということです。

和の法則
たとえば、「A地からB地まで行くのに、行き方は電車で行くなら2通り、バスで行くなら3通りあります。A地からB地まで電車かバスで行くなら何通りの行き方がありますか」という問題では

2＋3＝5（通り）

というふうにたし算を使います。

積の法則
たとえば、「A地からB地まで電車で2通り、B地からC地までバスで3通りの行き方があります。A地からB地を通ってC地まで電車とバスで行く行き方は何通りありますか」という問題では

2×3＝6（通り）

というふうにかけ算を使います。

和の法則のキーワードは「か、または（or）」で積の法則のキーワードは「と、かつ、それぞれ（and）」です。

図を見るとわかるように順路が並列つなぎの場合にたし算、直列つなぎの場合にはかけ算になります。

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2. 場合の数2　順列について

順列の問題で、一番よく出るのは「数字が書いてある4枚のカード1、2、3、4があります。このうち、3枚をならべて、3けたの整数を作ると、何通りの整数ができますか。」というような問題です。こういうのは、習い始めは「樹形図」を使って考えるのが基本です。

計算では4×3×2＝24（通り）です。樹形図を見ると導けるでしょう。

区別のつく、いくつかの決まった個数（n個）のうち、同じものを2度使わないでr個とりだして並べることを「順列」と言います。

記号では、_nP_rと書き、「ぴーのえぬ、あーる」と読みます。（読み方はいろいろあって決まっていませんが、ここではそういうことにします）

_nP_r＝n×（n－1）×（n－2）×……×（n－r＋1）

たとえば、区別のつく、5個のものから、同じものを2度使わないで3個とりだして並べる順列は、

₅P₃＝5×4×3＝60 です。

₅P₃は「ぴーの5、3」と読みます。

r＝nのとき、すなわちn個のうちn個全部を一列に並べる場合は

_nP_n＝n×（n－1）×（n－2）×……×3×2×1

となりますが、これを、

_nP_n＝n！

と書きます。

また、新しい記号が出てきました。「n！」は「エヌの階乗（かいじょう）」と読みます。n以下の整数をすべてかけたものです。

たとえば、「5！（5の階乗）」は5×4×3×2×1

この記号を使うと便利なことは「……（トントントン）」を使わなくても表せることです。

_nP_n＝n×（n－1）×（n－2）×……×3×2×1＝n！

だけでなく、

_nP_r＝n×（n－1）×（n－2）×……×（n－r＋1）

＝

と表すことができるのです。

【蛇足】
順列のことを英語ではパーミュテーションといいます。
置換のことも英語ではパーミュテーションといいます。
順列と置換は日本ではちょっと違うニュアンスで使い分けることが多いです。
中国語では、パーミュテーションを置換といいます。ただし、排列（はいれつ）という言い方もあります。排列は配列に通じ、日本の順列に近いニュアンスです。排列は日本でも使います。
「n！」はそのまま中学入試に出ることもありますし、別な表現で出ることもあります。「n！」を中学入試では、必ずしも「nの階乗」とは読まないで、「nのビックリマーク」などと呼んでいる人もいるかと思います。

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3. 場合の数3　組み合わせについて

「組み合わせ」は普通おくりがなを節約して、「組合せ」と書きます。「せ」もとってしまうと「組合」となり、「くみあい」と読まれるからだと、ある学習参考書の編集者から聞いたことがありますが、本当かどうかはわかりません。「組合せ」よりも「組み合わせ」の方が小学生ではピンとくるでしょうか。あまりちがわないので、あとあとまで使える「組合せ」の方がよいとも思います。それに、ここで、組み合わせというのは一般の組み合わせではなく、算数用語の意味もあります。まあ、あいまいに使っておきましょうか。

「組み合わせ」の問題は「選ぶ」という言葉に置き換えると、わかりやすいことが多いと思います。

「A、B、C、D、Eの5個のうち、2個とり出す場合の数は何通りか」というのは「5個のうち、2個の選び方は何通りか」と読み替えるとよいでしょう。

2個選ぶ場合の数は「辺と対角線図」が便利です。

「区別のつく3個のうち、2個の選び方は何通りか」　答えは3通りです。
「区別のつく4個のうち、2個の選び方は何通りか」　答えは6通りです。
「区別のつく5個のうち、2個の選び方は何通りか」　答えは10通りです。

「区別のつく5個のうち、2個の選び方は何通りか」ということは「五角形の辺と対角線は合わせていくつですか」と読み換えるとよいでしょう。数えると10通りと分かるでしょう。

「区別のつく5個のうち、3個の選び方は何通りか」ということは「5個のうち、除く2個の選び方は何通りか」と読み替えることができるので、「五角形の辺と対角線は合わせていくつですか」と読み換えることができます。数えると10通りになります。

「区別のつくn個のうち、r個の選び方」は記号で_nC_rと書き表します。「しいのえぬ、あーる」と読みます。

「区別のつく3個のうち、2個の選び方は何通りか」　₃C₂＝3です。
「区別のつく4個のうち、2個の選び方は何通りか」　₄C₂＝6です。
「区別のつく5個のうち、2個の選び方は何通りか」　₅C₂＝10です。
「区別のつく5個のうち、3個の選び方は何通りか」　₅C₃＝10です。

ところで、

「区別のつく5個のうち、3個の選んで1列に並べる場合の数は何通りか」というのは、

₅P₃＝5×4×3＝60（通り）です。また、
₅C₃×₃P₃＝10×（3×2×1）＝60通りです。

つまり、

₅P₃＝₅C₃×₃P₃

「₅P₃」5人のうち3人並べる場合の数
「₅C₃」5人のうち3人選ぶ場合の数
「₃P₃」3人のうち3人並べる場合の数

一般に、

_nP_r＝_nC_r×_rP_r

です。P（順列）の計算は簡単ですが、C（組合せ）の計算を意味を考えながらしようとすると難しいので、

この式を利用すると、

_nC_r＝_nP_r÷_rP_r＝÷r！＝

とできます。ところで、パスカルの三角形

は、_nC_rを使って、

と表すことができます。

組み合わせ（組合せ）は英語ではコンビネーションと言います。Cはコンビネーションの頭文字です。

外人や発音のよい日本人にいってもらうとコンビネーションよりはカンビネーションのように聞こえます。

2個選ぶ場合の数は「辺と対角線図」のほか、リーグ表もわかりやすいです。

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4. 場合の数4　重複順列について

次に重複順列について説明します。

1、2、3の3つの数を同じ数字を何度使ってもよく、使わない数字があってもよいとして3けたの整数は何通りありますか。というと、

3×3×3＝27（通り）

です。

一般に、n種類のものを重複を許してr個並べる場合の数は、

となります。「ぱいのえぬ、あーる、いこーる、えぬのあーるじょう」または「ぱいのえぬ、あーるは、えぬのあーるじょう」と読みます。

はギリシャ語の「かけ算」の意味の

の頭文字です。

この式の計算が、「場合の数」の中で一番簡単ともいえます。

n進法記数法によく使われる場合の数です。重複しない普通の順列では、よく数字カードが使われます。それに対して、重複順列はカードではなしに数字が使われます。

重複順列の解法として、特に「2つのサイコロ」といえば「表」を思い出してほしいところです。

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5. 場合の数5　重複組合せについて

では、重複組み合わせについて説明します。「学校選択」では次のように書きました。

菓子屋さんの開店サービスで「A、B、Cの3種類のクッキーを合計8個差し上げます。ただし、宣伝なのでもらわない物があってはいけません」なんてことに出くわしたことがあるでしょうか。

こういう場合、頭の中にクッキー用のお皿を8枚思いうかべてください。

8枚のお皿にはスキマが7つあります。その7つのスキマから2つを選びます。

選んだスキマが、A、B、Cのサカイになります。

つまり、7つのスキマから2つのスキマを選ぶ場合の数と同じことになります。

もし「最初に、A、B、Cを1個ずつもらっておいて次にA、B、Cの3種類のクッキーを合計5個もらっても同じです。ただし、その5個はもらわないものがあってもよい」としても同じです。

つまり、

この問題1、問題2、問題3は見かけが違うのですが答えは同じになるのです。

このうち、いちばん解き方が簡単なのは、「問題3」で、

となります。

つまり、「問題1」や「問題2」は「問題3」とみなして、解くとよいのです。

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6. 場合の数6　重複組合せの中学入試問題 （2010年 城西川越中1回4番（1））

苦手な人の多い、差のつきやすい問題ですが、「解き方が難しい問題」を答えが同じになる「解きやすい問題」に読み換えるということを意識すれば、できるようになります。

と書きましたが、これを読めば特に補足説明はいらないでしょう。

重複順列を記号では、_nH_rと表します。

_nH_rは「えいちのえぬ、あーる」と読みます。

です。

以上、「順列」「組合せ」「重複順列」「重複組合せ」の4つを、1つの表にまとめてみますと。

算数小辞典

記号	用語	意味	計算式
	順列	相異（あいこと）なるn個の物からr個取り出して並べる場合の数
	組合せ	相異なるn個の物からr個取り出す場合の数
	重複順列	相異なるn種類の物からr個取り出して並べる場合の数
	重複組合せ	相異なるn種類の物からr個取出す場合の数

となります。

付記

なお、「相異（あいこと）なる」の「相（あい）」は語調をととのえる語です。簡単に言うと、ちょっとカッコつけています。「異なる」とは「違う」という意味ですが、ここでは「区別つけられる」とか「区別する」というふうな意味合いです。

前節の問題1、問題2、問題3

は記号を使うと、

と表されます。

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7. 推理算　ようかい天衣無縫（てんいむほう）　『キッズレーダー』に関連して

頌栄女子学院中の「推理算」をゲーム仕立てに、こじつけて書いてみました。

【補足】　表を使って解く推理算

• どの列も○が1個付き、1個しかつかない。
• 1つの列にすでに×が2個あれば残りは○、
• 1つの列にすでに○が1個あれば残りはすべて×

ということを利用します。

時間をかけて考えさせれば、低学年でも届きそうに思いますが、どうでしょうか。

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8. 故事成語　天衣無縫

故事成語　「天衣無縫」
むかし、中国に郭翰（かくかん）というお人がおりました。詩を書いたり、絵を描いたりするのがとてもうまく、悪いことをする人を見破ったりするのも上手で、性格は明るい人でした。ある夏の夜、その日はとりわけ蒸し暑く部屋の中で寝ていられませんでした。郭翰は中庭の中でまで竹のベッドを運んで そこで横たわって、空を眺めていました。

ふと、白い雲が伸びたり巻いたりしたかと思うと、空の一点が青玉のように光り、すっと降りてきて、衣服をなびかせて郭翰の上に立って浮かんでいました。

郭翰はほとんど自分の目を信じられませんでした。しかし、それは確かに素敵な女の子で、きれいな色の服を着ていました。淡くほのかな香りが庭中に広がり、郭翰のそばに降りました。

郭翰は尋ねます。「あなたは天上の織女ではないでしょうか？」

天女は答えます「私は天上の織女です。」

郭翰はじっと美しい織女を見ていました。その服は風をうけてふわふわ浮かんでひるがえりました。

郭翰　「あなたが天上の人ならば、天上の様子を話してくださいませんか」

天女　「何を知りたいの」

郭翰　「何でもかんでも全部です」

天女　「そう言われても、何から話しましょう？」

郭翰　「天上の人の聡明さは知られています。ご自由にお話しください。」

天女　「天は年中春のようで、夏の酷暑がなくて、冬の厳寒もありません。木は常緑で、花が咲きます。
こずえのいろいろな鳥はそれぞれ歌います。水の中では魚が楽しく泳いでいます。病気がなく、戦争がなくて、租税がなくて、要するに、この地上のすべての苦難は天には全くありません」

郭翰　「天にはそんなによいなら、あなたはどうしてまたこの地上に来たのですか」

天女　「あなたは1人の知識人ですから、あなた達の大先輩の庄周尊師の言葉をご存じでしょう。部屋いっぱい蘭の咲き乱れる中で過ごすとぼうっとなると言っています。天で長いことぼうっとしていると、どうしても一部の寂しさで、たまにこの地上に遊びに来たくなるのです。」

郭翰　「天上には長生きすることができる一種の薬があると聞いていますが、知っていますか？」

天女　「この地上にはない、そのような薬は天には至る所どこにでもあります」

郭翰　「天上にそんなに多いならば、あなたは持って下りてくるべきで、人々に味わせればどんなによろこばれるか知れません」

天女　「荷物は何も持って降りて来ないのです。天上のものを地上に持ってくると、地上の様子が変わり始めます。もっと前に秦始皇、漢武帝に食べさせましたが賢い息子を失いました。」

郭翰　「あなたは、嘘をついてだましていないと証明できますか」

天女は郭翰に彼女の服を見させます。よい香りがしました。郭翰は注意深く見ると、その仙女の服は縫い目がなかったので、とても不思議に思ったのでした。

天女　「自然で非の打ち所がないでしょう。これさえわからないなら、またどんな才知にたけた人を装っても、私はあなたが十分な大馬鹿者だと思うわ」

郭翰は聞き終わって「ハッハッ」と大笑いして、ふと見ると、天女はいなくなっていました。

前蜀のころの牛嶠が書いた『霊怪録・郭翰』が出典で「天衣無縫」の語源とされています。

「天衣無縫」は日本では「天真爛漫」と同義ですが、中国では「完璧」の意味で使われます。

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9. 中学入試問題研究1　展開図を読み解く1 （2010年 駒場東邦中2番（2））

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10. 中学入試問題研究2　展開図を読み解く2 （2010年 渋谷教育幕張中6番）

ついでに、平行でない2個の正三角形で切ると、次のようになります。

立方体2個分の直方体だと次のようになる。

など展開図の問題はいろいろ考えられます。いずれにしろ、見取り図から展開図を類推するほうがその逆よりもずっと簡単なので、簡単な見取り図を想定しながら考えてみましょう。

以下のリンク先から1990年の城北中の展開図もぜひ見ておいてほしいものです。

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11. 大学入試問題研究 （2010年 京都大学理系乙2番）

では、大学入試問題研究として、京都大学理系乙2番に取り組んでみましょう。今年の京都大学はわたし好みの問題をたくさん出していただきました。

いろいろなアプローチの方法があります。皆さんはどれが好みでしょうか。

もとにした実際の問題

【注意】
45度のことを高校ではラジアンといい、普通ラジアンを省略しで単にと書きます。したがって、実際のこの大学入試の答えはとなります。ちなみに180度はπ（パイ）ラジアンです。京都大学では解法を公表していません。この解法は、真藤啓が小学生向けに書いたもので、大学受験生に、このまま大学入試の答案として書くことをお勧めするものではありません。小学生には円周角について正式には学んでいないのでやや難しいかもしれません。この問題は小学生が自分で解くのは意外に難しいと思いますが、言われればなるほどという人は少なくないでしょう。

さて、今回は、場合の数のうち、「重複組み合わせ」にも踏み込んでお伝えしました。具体的な練習問題に多少取り組まないとピンと来ないかもしれません。また、普通の「組み合わせ」をある程度練習していてやさしいと思える人でないと、「難しい問題」を「やさしい問題」に読み替えるはずが、「難しい問題」を「やっぱり難しい問題」に読み替えることになってしまいます。

小学生には、普通の「組み合わせ」でもけっこうむずかしいと思うので、「重複組み合わせ」はとても難しいと思いますが、教えるものが難しいと言いながら教えるのと、やさしいやさしいと言いながら詳しく教えるのでは、やさしいやさしいと言いながら詳しく教えるほうがずっと理解してもらえます。

ですので、「やさしいはずだ」と思いながら学んでください。これまでは「重複組み合わせ」には言及していなかったのですが、中学入試に出るようになった以上は今後は言及していこうと思います。ざっと読んで、少し自分でも考えるようにすると、確実に力が付いてきます。いずれにしろ、楽しみながら取り組んでみてください。

その他では、展開図を組み立てる問題が苦手な人が多いようなので書いてみました。これも、「やさしいはずだ」と思いながら学んでください。

では、今回も最後までお読みいただきありがとうございました。