小学生のための中学受験塾。日能研

日能研教務部算数科　真藤 啓

本稿は、次のそれぞれの算数エッセーのうち、問題や解説など、紙面で書ききれなくなったことを補足するために、開設しています。タイトルは『進学レーダー』のものとそろえ、WEB掲載のタイミングも『進学レーダー』の発行日に連動して毎月15日に行います。

けれども、毎月それらの文を読まなくても本稿が読めるようにも心がけています。受験算数の根っこの部分とか背景といったものがしっかりわかるようにすることを漠然と目標にして、思いつくまま書いています。

『進学レーダー』4月号（みくに出版）　算数エッセー「算数好きになるくすり　トントンタック」
『キッズレーダー』4月号（日能研）　算数エッセー「おいしい算数　至福（しふく）の涙」
『学校選択』4月号（全国中学入試センター）　算数エッセー「算数好きのきっかけをもとめて　回転線を横から見る」

【目次】

1. 至福（しふく）の涙　キッズレーダーから
2. 三平方の定理 （2009年 江戸川女子中）
3. 円周率、日本一の解法？ （2003年 東京大学前期理系6番）
4. 回転線を横から見る （2009年 灘中）「学校選択」に関連して
5. 類題研究　回転線を横から見る （2009年 灘中類題）
6. 「弦の軌跡」の周辺 （2009年 女子聖学院中1回目4番）
7. 円の内回りの軌跡の面積を求める問題1 （1997年 甲陽学院中）進学レーダーに関連して
8. 円の内回りの軌跡の面積を求める問題2 （2009年 開智中4番）
9. 「トントンタック」の話の楽屋裏
10. 内回りの円の軌跡　日能研の内部テストと知の翼のテキストの抜粋
11. とびとび花占い1 （2009年 開成中4番）
12. とびとび花占い2 （2007年 鳥取大学医学部）
13. とびとび花占い3 （2009年 公文国際学園A日程2番）

1. 至福（しふく）の涙　キッズレーダーから

ピタゴラスはイタリアの島で生まれ、タレスに見いだされました。タレスの勧めで、エジプトやインドや中国で算数を学んで帰ってきました。一人旅は、さびしいときも不安なときもひもじいときもありました。ピタゴラスを支えたものは学ぶ喜びと、この喜びを師タレスに報告することでした。しかし、ピタゴラスが帰って来たときにはタレスは亡くなっていました。それで学ぶ喜びを伝えるために学校を作ったのでした。

クロトンに開いたその学校は宗教じみていて、しかも若者はほとんどその学校に通いだしたので、政府が怖がるようになるほどでした。

ピタゴラスにとって、星のならびもまた多義図形でした。5、12、13というあたらしいピタゴラス数を発見し、続いて、円周率が3.05より大きいことに気づきました。翌日、生徒に早速話しました。あたらしいピタゴラス数、円周率、音階、和音、黄金律、…。ピタゴラスは美しさというものが比で説明できることを示しました。そうして、「すべては数である」と言いました。数ということばには、形とか点という意味もありましたから、この言葉には「すべては数、形、点である」という三つの意味が重なり合っていました。

生徒の中には授業が完全に理解できる者がいました。うれしくなって、その5人を呼んで、ピタゴラスは「君たちはよく頑張って勉強しているね。今後君たちにはおこづかいをあげることにしよう」と言いました。ピタゴラスは後継者を育てようとしたのです。

すると、生徒は一斉に「先生、僕たちはおこづかいをいただかなくても喜んで勉強できます」と言うのでした。至福のひとときに我を忘れて、生徒の前で声を上げて泣いてしまったのでした。

…というようなことを書きましたが、まあ、言い伝えなので、どこまで本当なのかまるきりでたらめなのかはっきりしません。また、ゴーダマブッダ（＝釈迦）、孔子、ピタゴラス、タレスは大きなくくりでは同時代の人ではありますが、こうした人物たちが、出会えるほどには生存期間が重なってはいなかったであろうという人も多いです。しかし、ピタゴラスは釈迦の弟子とか孫弟子に会うなど間接的であったとしてもその人たちの影響が感じられます。

ユークリッドのとき、王に「もっと簡単に学べる方法はないか」と問われ、「幾何学に王道なし」と答えたとか、学生に「こんなことを学んで何になるのですか」と言われ、「この学生に3ドラグマを与え、帰ってもらいなさい」といったと書きましたが、それとのバランスを取る意味もありました。

生徒の学習の喜びこそが教師の喜びであると一度書いてみたかったのです。

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2. 三平方の定理 （2009年 江戸川女子中）

三平方の定理の裁ちあわせによる証明が江戸川女子中はじめ数校で出ました。もっとも、「日能研予科教室算数テキスト後期下」でも扱っていますが。

着眼
「切り取ってできる内側の正方形」の面積を求めてから1辺を求める

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3. 円周率、日本一の解法？ （2003年 東京大学前期理系6番）

【補足】
1辺の長さが12cmの正方形の対角線の長さは四分円の半径17cmよりかすかに短い。したがって、円に内接する正八角形よりもかすかにやせている。

その「ほとんど正八角形」の周の長さ13cm×8が、直径17cm×2の3.058…倍であることを示し解答としているのです。

三角関数も平方根号も使わない解き方で、小学生向けの解法としては、みわたして日本一ではないかと思っています。

この問題は本稿2008年2月号
円周率（2003年 東京大学理系の「6」）
でも扱っています。

そのときの解法を図を変えてもう一度説明してみます。

平方根は中高生に何の障害もないので、この問題の解法として優れていると思っていますが、最初の解法は、中学受験生の知識でも解けることで異色のものであると思っています。なお、東京大学のT先生による次のような別解も知られています。

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4. 回転線を横から見る （2009年 灘中）「学校選択」に関連して

たての線を回転して斜めの線にしたあとで横から見ると、初めに横から見た長さよりも短く見えます。こうしたことを、今年（2009年）の灘中の問題に即して考えてみましょう。

3辺の長さの比が3cm、4cm、5cmの直角三角形について書きます。右の図のような三角形です。ところで、このときの角Bは何度だと思いますか。

およそ、53.130102354155978703144387440907度です。

この角度を何度も書くのは面倒なので、記号★を使って★度と書くことにします。

「ほしど」とでも呼んでください。（図1）

この三角形をBを中心に★度回転させることを考えてみましょう。BAはBAに、BCはBCに移りますが、このとき、たて線ACはななめのACになります。BAやBCは★度回転しますが、ACも★度回転します。（図2）移動前の文字を青字で、移動後の文字を赤字で、両方についていうときにはもとの黒字で表しています。文字の色にも注意してください。

⇒の方向から見た長さは線ACは倍、BCは倍になるので、同じ長さに見えます。（図3）

【補足】
実は、この問題を見て、灘中は円周率の新しい解法に気づいたことを示しているのかと思い調べているうちに前節の解法に気づいたのでした。灘中の問題自身からは円周率のよい近似値（きんじち）は得られませんでした。

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5. 類題研究　回転線を横から見る （2009年 灘中類題）

次のような類題も同様に解けます。

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6. 「弦の軌跡」の周辺 （2009年 女子聖学院中1回目4番）

ところで、次の問題は2009年女子聖学院中1回目4番の問題です。

この問題自身はいまや頻出問題なので、特に問題はないと思いますが、将来どういうようになるかというと、とりあえず次の問題を解いてみてください。

三平方の定理（ピタゴラスの定理）

あれあれ、答えがみな同じになりましたね。これはなぜでしょう。
その前に「三平方の定理（ピタゴラスの定理）」について考えてみましょう。
次の図で、3つの直角三角形ア、イ、（ア＋イ）は相似ですから、面積比は
ア：イ：（ア＋イ）＝（b×b）：（c×c）：（a×a）なので、よって、
（b×b）＋（c×c）＝（a×a）

これを「三平方の定理（ピタゴラスの定理）」といいます。
ここで、先の問題に戻ると、

a×a×3.14÷4－c×c×3.14÷4
＝（a×a－c×c）×3.14÷4
＝b×b×3.14÷4
となり、aやcに関係なくbの長さだけでの面積が決まる。すると、c＝0でも同じになる。
つまり、こういうことになります。

これを丸暗記しないで、これをヒントに自分で考えてみてください。

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7. 円の内回りの軌跡の面積を求める問題1 （1997年 甲陽学院中）進学レーダーに関連して

進学レーダーに書いたことに関連して、円の内回りの面積について考えてみます。

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8. 円の内回りの軌跡の面積を求める問題2 （2009年 開智中4番）

今年の問題で、円の内回りの面積について考えてみます。

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9. 「トントンタック」の話の楽屋裏

『進学レーダー』では『トントンタック』というお話を書いてみましたが、どうでしたでしょうか。なかなか面白かったでしょう。受けをねらって書いてみたのです。どうやってこんな面白いお話が思いついたんのですかと聞かれることが多かったので、こうだったかなあと思い出しながら書いてみましょう。

「いそうろう、四角い部屋を丸く掃き」という前ふりで、『進学レーダー』に、円の内回りの軌跡について書いてみようと思うんだが、…というと、あ、そういうのは、麻野さんがカリキュラムテストに出しましたよと言われてしまいました。横から、『知の翼』の菊本さんが『知の翼』のテキストにも丸い掃除ロボットで書きましたというではありませんか。そのときはそう聞いたように思いましたが、調べてみると、聞き違いで麻野さんが『6年合格力育成テスト（2008年11月16日実施）』に丸い掃除ロボットで出し、菊本さん担当のライターさんが丸いモップで書いたのでした。

次節で少し紹介します。

むむむ。内回りの軌跡では、「いそうろう、四角い部屋を丸く掃き」しか思いつかない。そうだ、いそうろうはいそうろうでも興味深いいそうろうにしよう、と思いました。遠くからやってきたいそうろうにしたい。宮城県とか岩手県くらい遠ければ、東京に住む子には謎めいた印象を持つでしょうか。いや、どうせなら、沖縄か北海道、…、もっと遠くのアメリカにしよう。アメリカなら、十分遠いし、有名な外国だからと思ったからです。有名でなくてもよいのですが外国と分からなくても困ると思ったのです。

私が小学生のころ外国といえばアメリカしか浮かばなかったように思ったからです。

以前、『キッズレーダー』に、『隣村の尖塔』という題でニュートンの幼いころの話を書いたときに、小川かおるという女子社員が、わざわざ、あらすじを述べて、ここがかわいそうだったとかここが面白かったと言ってくれました。

筆者にあらすじを言ってどうするのと思いました。読んで感想を言いたくて仕方がなかった風でした。小学生が小学校の先生に書く読書感想文のようで、その心根がとても可愛いと思い、今度、この人のイメージで、何か書いてみようと思ったのですがそのときはうまくまとまりませんでした。

実際の小川かおるさんがどういう性格の人かよくわかっているわけではありませんが、空想が大好きな人であると仮定して、いろいろ面白い空想することを想像してみました。

「いそうろう、四角い部屋を丸く掃き」というのは実際にある古川柳です。
「二階と厄介で合わせて十階、居候のことです」というのは、落語などにもある古いだじゃれです。

「ところでお前、最近どこにいるのや」
「それでしたら私、じっかいの身の上で」
「ほう、二階建ての家というのはよくあるが、十階とは高いところに」
「いえいえ、私も二階なんですが。よその二階に厄介になっているので、二階と厄介とをあわせて十階」

この川柳も落語も、私は、あまり面白いとは思いませんでした。わびしいような面白さはあるけれどおかしいという気になれません。しかし、女の子は興味ある男の子が面白そうにダジャレを言うと、面白くないネタでも笑ってくれます。そういう光景はよく見かけるでしょう。

こういうのを訳知り顔の少女が、「面白くない男のダジャレに笑えるのは惚れている証拠であると読んだことがある」なんていうこともありそうではありませんか。

こうしたことを書きならべると何とも面白そうになってきました。いそうろうの男の子は、かっこいい人がいい。算数科の坂本鉄平さんがいいかなあ。しかし彼はもてすぎるから、泣く女の子もいそうだなあ。彼のイメージで、木村拓哉にかけて、ニックネームはタックンにしようと思いました。名前は武田卓也、保護者会などでお母さんに人気のある竹田さんの姓を借りました。

お兄さんに、アメリカのタックンという人から手紙が来た。

これで、女の子はドキドキするだろうか、心をトントンとノックするだろうか。トントンタックとすれば気になるのではないかなどと考えました。

兄にアメリカの友達からはがきが来ました。そのはがきの差出人の名前はカタカナでトントンタックと書いてありました。空想の世界に住む妖精から来たはがきのようで、私の心をトントンとノックしたような気がしました。……

こういう書き出しではどうだろうか。……

どうやってこの話が思いついたんのですか。と聞かれることが多かったので、こうだったかなあと思いだしながら書いてみました。まあ、こういうのは書かないほうがよいような気もしますが。実際の頭の中はもっとごちゃごちゃしたせめぎあいの中から生まれたのは言うまでもありません。聞くほうも本気で聞いているわけではないと思いますが、一応こういうことにします。ニュートンが万有引力を発見したのはりんごの落ちるの見たからだという話は嘘でもあり本当でもあるというのはきっと本当だと思います。考えた結果は論理的でも、考える途中はあまり論理的とは限らないのです。人に言うときには論理的に言うしかありませんが。

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10. 内回りの円の軌跡　日能研の内部テストと知の翼のテキストの抜粋

まず、「2008/11/16　6年合格力育成テスト　総合」の7番をご紹介しましょう。これは、そのときの原稿です。原稿も実物もB4横書きのものですが、WEBではHTML文になりますから、幅が自動調整されますので、実物の形がそのまま反映されているわけではありません。

そういえば、大隅典子氏がお掃除ロボットならほしいと言っておられたような……。

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11. とびとび花占い1 （2009年 開成中4番）

さて、今年2009年にも、本稿が取り扱った問題が難関校の主要問題としてたくさん出題されました。ここでは開成中の4番「とびとび花占い」について調べてみましょう。

注意　初めの枚数が2の累乗枚のときは取り始めのカードの逆隣（ぎゃくとなり）が残る

さて、（1）と（2）の解法のところで、

初めの枚数が2の累乗枚のときは最後のカードが残る。と書きましたが、初めの枚数が2の累乗枚のときは取り始めのカードの逆隣が残る、もう少し正確に言うと、初めの枚数が2の累乗枚のときは取り始めのカードの反時計回り隣りのカードが残る。と押さえておきましょう。

例えば、8枚あって、1番のカードから1枚置きに取り始めたときは8が残り、2番のカードから1枚置きに取り始めたときは1が残り、5番のカードから1枚置きに取り始めたときは4が残ります。

「1枚おきに1枚とる」のと「2枚ごとに1まいとる」のは同じことですが、いずれにしろ、最初に1番から取ることも2番目から取ることもあります。いままで、中学入試では1番から取るのと、2番目から取るのではちょうど半々くらいに出ています。だから、初めの枚数が2の累乗枚のときは取り始めのカードの反時計回り隣りのカードが残る。

とおさえておけば、両方に使えるでしょう。

また、例えば、「8枚あって、5番のカードから1枚置きに取り始めたときは何番が残りますか。」というのは不自然で、ありそうに思えませんが、このとき4番が残るということは重要です。

たとえば、10枚あって、1から、1枚置きにとるとき、2枚取り除いて、のこりが8枚になったとき、いったんそこで時間をストップさせて考えて、そのときの様子を考えてみましょう。

1、3を取った残りの8枚の取り始めは5番のカードです。

「2、4、5、6、7、8、9、10

と書かれた、8枚のカードが丸く並べてあって、5番から取ると最後に何番のカードが残りますか。」というのと同じことなのです。

すると、「新しい1番」は「もとの5番」で、新しい8番はもとの4と分かりますので、4が残ります。

ここで、「8枚のとき、取り始めの1個後（反時計回り隣）が残る」と押さえましょう。

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12. とびとび花占い2 （2007年 鳥取大学医学部）

本稿の2007年11月号の
とびとび花占い（この稿のためのオリジナル問題）

で、大学入試ではどうかというと、東大、京大で最近30年くらいは「とびとび花占い」は出ていないと書きましたが、アップロード後に、2007年　鳥取大学医学部に出ていることを知りました。

それで、そのうちこれについて書こうと思っていましたが、ちょうど今年もよく出ましたので、これについて書いてみたいと思います。

【補足】
1に2を次々にかけると、1、2、4、8、16、32、64、128、256、512、1024、……となることは暗記していなくても導けますが、2⁵＝32、2¹⁰＝1024などは意外と出ますので暗記しておいた方がよいかと思います。「とびとび花占い」については本稿では既出なので、合わせてみてもらえば、あまり詳しい説明はいらないでしょう。なお、問題文中

F（2×n）＝2×F（n）－1 、F（2×n＋1）＝2×F（n）＋1

としてあるところは原文では

F（2n）＝2F（n）－1 、F（2n＋1）＝2F（n）＋1

のようにかける記号×が省かれています。中学以降の文字式の場合かけるの記号×は普通省きますが、本稿では省きません。しかし、改題というまでもないと判断して改題の表記をしていません。

この問題の（4）は1個さかのぼって考えるというもので、これまで、中学入試には出ていない点で「これまでの中学入試より難しいといってもよい」と思いますが、今後中学入試に出ないとは言えない低いハードルに思えます。

まとめ（裏ワザ？）

見渡して、他の本にはまだ書いていませんが、20年ほど前に旺文社の『合格相談』にも書いたのですが、初めの枚数を2進数で表すと、1ABCDEFG_（2）枚あったとして、
2番目から1枚置きにとるとして、

ABCDEFG_（2）枚取り除くと、10000000_（2）枚残ります。このときまでの内で、最後の取り除く番号は、ABCDEFG_（2）番目の偶数ABCDEFG_（2）×10_（2）＝ABCDEFG0_（2）なので次に取り除く番号の1つ前のABCDEFG0_（2）＋1_（2）＝ABCDEFG1_（2）が最終最後に残ります。

1番目から1枚置きにとるとして、

ABCDEFG_（2）枚取り除くと、10000000_（2）枚残ります。このときまでの内で、最後の取り除く番号は、ABCDEFG_（2）番目の奇数ABCDEFG_（2）×10_（2）－1_（2）なので、次に取り除く番号の1つ前のABCDEFG0_（2）が最終最後に残ります。

大学入試は記号が入ったりして、表現が難しいのですが、わかると、中学入試にも見通しよくなると思います。

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13. とびとび花占い3 （2009年 公文国際学園A日程2番）

『とびとび花占い』では、最後に残るものについて考えるのが普通ですが、特定なカードについて問う場合もあります。かぞえ上げの問題とも言えます。公文国際学園A日程の2番の問題について考えてみましょう。

「とびとび花占い」における「最後に残るものを求める問題」「特定の物がいつ除かれるかの問題」はいずれも本稿07年11月号で取り扱い済みですのでそちらも参照してみてください。
とびとび花占い　本稿07年11月号

今回もつい長くなりましたが最後までお読みいただきありがとうございました。
以前書いたものと重複した問題を扱わないように、今年は2009年の問題を中心に書いてみようと思います。

本稿は、必ずしも、入試の予想のために書いているわけではありませんが、結果的には今年も難関校の重要問題に非常にたくさん出題されましたので、お読みになると、中学入試の合格に役立つと思います。